19 abril 2006

3,14159... (I parte)
   publicado por Fry

TioP ha abierto la veda y no puedo contener mi excitación al adueñarme del control leproso del número Pi, una de las grandes pasiones de todo geek que se precie. Inauguro una serie de artículos para ir hablando de todas las cosas que he ido leyendo en mi vida sobre tan maravilloso número, del que nunca se terminan de descubrir cosas.

Quizás, la afirmación más sorprendente es que en Pi están todos los números que existen o que puedan existir. En algún punto de la infinita sucesión de decimales se encuentra cualquier secuencia conocida. Todos nuestros números de teléfono se localizan en algún lugar concreto. Esto se debe a que Pi cumple las propiedades de ser irracional y trascendente (superinteresantes entradas en Wikipedia, en inglés, eso sí) por lo que tiene infinitos decimales, pero además cumple otra característica que lo convierte en número normal. Un número es normal cuando representa una distribución aleatoria e idéntica de todos sus números. No sólo los diez dígitos del cero al nueve se encuentran igualmente repartidos, sino cualquier otra secuencia de números. Es decir, el 11 aparece tanto como el 12, 13, 14... o cualquier otra combinación de, por ejemplo 5 dígitos, aparece repartida de manera idéntica. Siguiendo el planteamiento del teléfono podríamos decir que tú numero aparece tantas veces como el mío.

Actualmente no se ha podido demostrar que efectivamente Pi sea normal, ya que conocemos un número finito de decimales, pero todo apunta a que es así. Considerándolo de este modo, podremos encontrar cualquier secuencia de números en él. Puesto que cualquier forma de conocimiento (una imagen, una conversación, una cara, un libro...) es codificable en una secuencia numérica, podremos encontrar todo el conocimiento del universo. Es cierto que encontrar codificado el Quijote nos llevaría a profundizar en exceso entre la marabunta de decimales, pero no sólo se encontrará eso, sino modificaciones que se pudieron hacer, errores, terceras partes y un infinito número de variantes.

De alguna manera todos nos encontramos dentro del mágico Pi. Es como si toda la información en potencia ya existiera y sólo fuera necesario canalizarla. Si aceptamos que Pi contiene toda la información existente en el mundo, todo lo que somos y seremos ya existiera de alguna manera. No podemos inventar nuevas secuencias, ya existen. No podemos inventar una canción nueva, no se puede crear. Por ejemplo, Mozart no creó nada, no inventó música. Esa información ya existía. Sólo hubo que rebuscar un poquito más adentro de lo normal.

Hoy por hoy nos conformaremos con buscar dentro de los primeros 200 millones de decimales, que no es poco. Buscador de secuencias en Pi.

A partir de ahora, mediocres escritores y músicos, dejaos seducir por el maravilloso mundo de Pi. Quizás dentro encontréis la inspiración que la naturaleza os negó.

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EL NUMERO PI ES UN NUMERO NORMAL


Se conocen actualmente millones de cifras del numero pi pero
no se a probado que las cifras de pi sigan una distribucion
aleatoria y por tanto que todas las cifras de 0 a 9 aparezcan
con la misma frecuencia es posible que a partir de un momento
dado todas las cifras de pi sean 0 y 1 distribuidas de forma
irracional o cualquier otra combinacion de numeros o que sea
un unico numero el que no aparezca .Tal suposicion es imposible.
Tomemos la formula de leibniz

pi = 4 * ( 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... )

la formula es una suma y resta alternativa del inverso de todos
los impares hasta el infinito .La formula es de convergencia
lenta se necesitan 50 terminos para calcular 2 cifras 500 para
3 cifras 5000 para 4 y asi sucesivamente por lo tanto resulta
inapropiada para calcular un numero elevado de cifras ya que
necesitariamos un tiempo elevado para calcularlas .Si sumamos
y restamos unos cuantos terminos vemos lo siguiente

1

- 1/3 = 0.333333333333...

+ 1/5 = 0.2

- 1/7 = 0.142857142857...

+ 1/9 = 0.111111111111...

- 1/11 = 0.090909090909...

-------------------------

0.744011544011...

La sucesion de numeros en su desarrollo decimal de la mayoria
de las fracciones llega al infinito el numero de posibles
combinaciones de numeros de todas las columnas de numeros
de la suma y resta es un numero determinado si llevasemos
esta suma y resta en cantidad de terminos que intervienen
hasta el infinito ocurriria lo siguiente el numero de
combinaciones de cifras de las columnas de la suma y resta
seria infinita.
Si el numero de combinaciones de cifras es infinito cada
cifra de 0 a 9 tiene una probabilidad mayor que cero de
aparecer en el resultado al ser infinitas el numero de
combinaciones cada cifra aparecera un numero infinito de
veces con lo cual queda demostrado que la suposicion de
la que hablamos al principio es falsa.
La primera columna da el resultado A la segunda columna da el
resultado B la tercera el resultado C y todas las restantes
su correspondiente resultado X.Es decir la formula da
infinitos resultados cada uno distinto a todos los demas y
aunque cada uno no es un numero aleatorio tiene la apariencia
y caracteristicas como si realmente lo fuera con lo cual la
formula da resultados infinitamente variables y distintos
unos de otros.Podiamos pensar que la formula demuestra que
cualquier resultado es posible y que uno de los posibles
es que no sea normal el numero pi y otro de los posibles
resultados es que lo sea con lo cual no saldremos de la duda
a no ser que calculemos sus infinitos terminos.Sin embargo
no es necesario calcular sus infinitos terminos para ver su
naturaleza.Si los resultados son infinitamente variables y
distintos el resultado es similar a la suma de infinitos
numeros aleatorios entre 0 y 9 o sea un numero que en el
que aparece cada cifra de 0 a 9 infinitas veces.Aunque los
resultados son infinitamente variables y distintos unos de
otros podria ocurrir que en el acarreo de la suma se produjesen
infinitos llamemosles solapes o sea infinitos resultados en
los que un resultado que no es un 0 o un 1 se convierte en
0 o 1.Cierto es que tal caso se da pero tambien es cierto
que el resultado opuesto tambien se da infinitas veces o sea
que el resultado final es que cada cifra de 0 a 9 aparece
infinitas veces.
Al ser cada termino de la forma 1/n en el que n es cualquier
numero impar desde 3 hasta infinito.En su desarrollo decimal
de cada termino cada cifra de 0 a 9 tiene una probabilidad
mayor que cero de aparecer en cualquier lugar de la fila de
los infinitos digitos.Si un determinado digito no aparece
en un determinado termino lo hara en el siguiente o en el
siguiente o en otro cualquiera de forma que los terminos
en su conjunto dan la posibilidad de que la aparicion de
las cifras de 0 a 9 es igual para todas en el conjunto
de los terminos y a su vez en el resultado.Si cualquier
resultado es posible podiamos argumentar que un resultado
de todos los posibles seria que a partir de determinado
momento todas las cifras de pi fuesen 0 y 1 pero no es asi.
Si lanzasemos un dado un determinado numero de veces sea
cual sea el numero de veces uno de los resultados posibles
seria que solo apareciesen dos numeros.Pero si llevamos el
numero de tiradas al infinito la posibilidad de que solo
apareciesen dos numeros seria nula.La razon es que si todos
los posibles resultados son solo dos numeros los restantes
serian inexistentes o nulos o su probabilidad cero.Si los
numeros restantes tienen una probabilidad mayor que cero
de aparecer en el resultado al ser infinitas el numero
de tiradas cada numero apareceria un numero infinito de
veces.Este ejemplo es trasladable a la sucesion de terminos
que estamos viendo.
Si a partir de determinado momento todas las cifras de pi
son ceros y unos eso supondria decir que la cantidad de
veces que aparece determinada cifra es un numero determinado
cuando hemos demostrado que son infinitas.
En una suma o resta de numeros aleatorios la posibilidad de
que salga cualquier cifra de 0 a 9 en el resultado es de
una entre diez si la suma o resta la llevamos en cantidad
de numeros que intervienen al infinito salen todas las cifras
y ademas salen infinitas veces aunque la suma de terminos de
la serie de leibniz que hemos puesto como ejemplo no es una
suma de numeros aleatorios tiene la apariencia caracteristicas
y posibilidades en el resultado como si realmente lo fuera.
Suponer que a partir de determinado momento todas las cifras
del numero pi sean ceros y unos o cualquier otra combinacion
de numeros es tanto como suponer que no exite ninguna
posibilidad para que aparezcan las restantes a partir de
dicho momento.Sin enbargo la formula de leibniz que hemos
puesto como ejemplo nos dice todo lo contrario la posibildad
de que salga cualquier cifra de 0 a 9 es igual a lo largo de
todos sus terminos.
Tambien podiamos suponer que una conbinacion determinada de
numeros diese un numero pi en el que a partir de determinado
momento todas las cifras de pi sean 0 y 1. Pero no es este
el caso que nos ocupa. Cada termino tiene sus propios digitos
particulares que se ponen de particular forma en cada fila
de la suma estos a su vez se combinan con los de otros
terminos para el resultado. Si suponemos que a partir de
determinado momemto todas las cifras de pi sean ceros y unos
hasta el infinito los terminos habrian de tener unas formas
muy especificas y determinadas como tal circunstancia no se
da se da la unica posibilidad cierta es que se den todos los
resultados de digitos de 0 a 9.
Dicho de otra forma la formula da un conjunto de infinitos
elementos (estos elementos son las columnas de numeros de
la suma y resta) en el que cada elemento es un conjunto de
numeros llamemosles aleatorios aunque no lo son en el que
las cifras de 1 a 9 aparecen en cantidad variable hasta un
maximo de infinitas que se combinan de infinitas formas y
estos a su vez con otros elementos .
En un conjunto en el que se dan infinitas conbinaciones de
numeros para el resultado y se dan todas las posibilidades
para que se salgan los resultados de 0 a 9 la posibilidad
de que se de un resultado distinto a 0 y 1 existe y no solo
una sino infinitas veces .Asi pues aunque puede ocurrir que
durante un periodo mas o menos largo las cifras de pi fuesen
0 y 1 llegaria el momento en que tal periodo acabaria y no
llegaria hasta el infinito. Lo mismo ocurre para cualquier
otra conbinacion de numeros .En conclusion aunque la
aparicion de las cifras de 0 a 9 pueden no ocurrir entre si
con la misma frecuencia todas las cifras de 0 a 9 aparecen
durante el desarollo infinito del numero pi .

El mismo razonamiento que hemos empleado para pi lo podemos
aplicar a el numero e base de los logaritmos naturales
una de las formulas para el numero e es la siguiente

e = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) +

1/(1*2*3*4*5) + 1/(1*2*3*4*5*6) + 1/(1*2*3*4*5*6*7) + ...

si sumamos unos cuantos terminos

1

+ 1/1 = 1

+ 1/(1*2) = 0.5

+ 1/(1*2*3) = 0.166666666666...

+ 1/(1*2*3*4) = 0.041666666666...

+ 1/(1*2*3*4*5) = 0.008333333333...

+ 1/(1*2*3*4*5*6) = 0.001388888888...

+ 1/(1*2*3*4*5*6*7) = 0.000198412698...

---------------------------------------
2.718253968253...

si un termino es igual a 1/A el siguiente es igual a
1/(A*N) es decir que el segundo termino es N veces
mas pequeño que el anterior y el siguiente N+1 veces
mas pequeño que este ultimo y N es igual a cualquier
numero entero desde 2 hasta infinito.Por lo tanto
cada termino averigua mayor proporcion de cifras que
el anterior.
Nuevamente vuelven a aparecer las mismas circunstancias
que vimos para el numero pi infinitas conbinaciones de
numeros mismas posibilidades para aparecer en el resultado
todas las cifras de 0 a 9 por lo tanto aunque las cifras
de 0 a 9 pueden no aparecer con la misma frecuencia
todas las cifras de 0 a 9 aparecen durante el desarrollo
infinito del numero e.

para cualquier respuesta contactar con oterofresa@hotmail.com

De Blogger otero, el día domingo, 18 junio, 2006

1 Comentarios:

  • EL NUMERO PI ES UN NUMERO NORMAL


    Se conocen actualmente millones de cifras del numero pi pero
    no se a probado que las cifras de pi sigan una distribucion
    aleatoria y por tanto que todas las cifras de 0 a 9 aparezcan
    con la misma frecuencia es posible que a partir de un momento
    dado todas las cifras de pi sean 0 y 1 distribuidas de forma
    irracional o cualquier otra combinacion de numeros o que sea
    un unico numero el que no aparezca .Tal suposicion es imposible.
    Tomemos la formula de leibniz

    pi = 4 * ( 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... )

    la formula es una suma y resta alternativa del inverso de todos
    los impares hasta el infinito .La formula es de convergencia
    lenta se necesitan 50 terminos para calcular 2 cifras 500 para
    3 cifras 5000 para 4 y asi sucesivamente por lo tanto resulta
    inapropiada para calcular un numero elevado de cifras ya que
    necesitariamos un tiempo elevado para calcularlas .Si sumamos
    y restamos unos cuantos terminos vemos lo siguiente

    1

    - 1/3 = 0.333333333333...

    + 1/5 = 0.2

    - 1/7 = 0.142857142857...

    + 1/9 = 0.111111111111...

    - 1/11 = 0.090909090909...

    -------------------------

    0.744011544011...

    La sucesion de numeros en su desarrollo decimal de la mayoria
    de las fracciones llega al infinito el numero de posibles
    combinaciones de numeros de todas las columnas de numeros
    de la suma y resta es un numero determinado si llevasemos
    esta suma y resta en cantidad de terminos que intervienen
    hasta el infinito ocurriria lo siguiente el numero de
    combinaciones de cifras de las columnas de la suma y resta
    seria infinita.
    Si el numero de combinaciones de cifras es infinito cada
    cifra de 0 a 9 tiene una probabilidad mayor que cero de
    aparecer en el resultado al ser infinitas el numero de
    combinaciones cada cifra aparecera un numero infinito de
    veces con lo cual queda demostrado que la suposicion de
    la que hablamos al principio es falsa.
    La primera columna da el resultado A la segunda columna da el
    resultado B la tercera el resultado C y todas las restantes
    su correspondiente resultado X.Es decir la formula da
    infinitos resultados cada uno distinto a todos los demas y
    aunque cada uno no es un numero aleatorio tiene la apariencia
    y caracteristicas como si realmente lo fuera con lo cual la
    formula da resultados infinitamente variables y distintos
    unos de otros.Podiamos pensar que la formula demuestra que
    cualquier resultado es posible y que uno de los posibles
    es que no sea normal el numero pi y otro de los posibles
    resultados es que lo sea con lo cual no saldremos de la duda
    a no ser que calculemos sus infinitos terminos.Sin embargo
    no es necesario calcular sus infinitos terminos para ver su
    naturaleza.Si los resultados son infinitamente variables y
    distintos el resultado es similar a la suma de infinitos
    numeros aleatorios entre 0 y 9 o sea un numero que en el
    que aparece cada cifra de 0 a 9 infinitas veces.Aunque los
    resultados son infinitamente variables y distintos unos de
    otros podria ocurrir que en el acarreo de la suma se produjesen
    infinitos llamemosles solapes o sea infinitos resultados en
    los que un resultado que no es un 0 o un 1 se convierte en
    0 o 1.Cierto es que tal caso se da pero tambien es cierto
    que el resultado opuesto tambien se da infinitas veces o sea
    que el resultado final es que cada cifra de 0 a 9 aparece
    infinitas veces.
    Al ser cada termino de la forma 1/n en el que n es cualquier
    numero impar desde 3 hasta infinito.En su desarrollo decimal
    de cada termino cada cifra de 0 a 9 tiene una probabilidad
    mayor que cero de aparecer en cualquier lugar de la fila de
    los infinitos digitos.Si un determinado digito no aparece
    en un determinado termino lo hara en el siguiente o en el
    siguiente o en otro cualquiera de forma que los terminos
    en su conjunto dan la posibilidad de que la aparicion de
    las cifras de 0 a 9 es igual para todas en el conjunto
    de los terminos y a su vez en el resultado.Si cualquier
    resultado es posible podiamos argumentar que un resultado
    de todos los posibles seria que a partir de determinado
    momento todas las cifras de pi fuesen 0 y 1 pero no es asi.
    Si lanzasemos un dado un determinado numero de veces sea
    cual sea el numero de veces uno de los resultados posibles
    seria que solo apareciesen dos numeros.Pero si llevamos el
    numero de tiradas al infinito la posibilidad de que solo
    apareciesen dos numeros seria nula.La razon es que si todos
    los posibles resultados son solo dos numeros los restantes
    serian inexistentes o nulos o su probabilidad cero.Si los
    numeros restantes tienen una probabilidad mayor que cero
    de aparecer en el resultado al ser infinitas el numero
    de tiradas cada numero apareceria un numero infinito de
    veces.Este ejemplo es trasladable a la sucesion de terminos
    que estamos viendo.
    Si a partir de determinado momento todas las cifras de pi
    son ceros y unos eso supondria decir que la cantidad de
    veces que aparece determinada cifra es un numero determinado
    cuando hemos demostrado que son infinitas.
    En una suma o resta de numeros aleatorios la posibilidad de
    que salga cualquier cifra de 0 a 9 en el resultado es de
    una entre diez si la suma o resta la llevamos en cantidad
    de numeros que intervienen al infinito salen todas las cifras
    y ademas salen infinitas veces aunque la suma de terminos de
    la serie de leibniz que hemos puesto como ejemplo no es una
    suma de numeros aleatorios tiene la apariencia caracteristicas
    y posibilidades en el resultado como si realmente lo fuera.
    Suponer que a partir de determinado momento todas las cifras
    del numero pi sean ceros y unos o cualquier otra combinacion
    de numeros es tanto como suponer que no exite ninguna
    posibilidad para que aparezcan las restantes a partir de
    dicho momento.Sin enbargo la formula de leibniz que hemos
    puesto como ejemplo nos dice todo lo contrario la posibildad
    de que salga cualquier cifra de 0 a 9 es igual a lo largo de
    todos sus terminos.
    Tambien podiamos suponer que una conbinacion determinada de
    numeros diese un numero pi en el que a partir de determinado
    momento todas las cifras de pi sean 0 y 1. Pero no es este
    el caso que nos ocupa. Cada termino tiene sus propios digitos
    particulares que se ponen de particular forma en cada fila
    de la suma estos a su vez se combinan con los de otros
    terminos para el resultado. Si suponemos que a partir de
    determinado momemto todas las cifras de pi sean ceros y unos
    hasta el infinito los terminos habrian de tener unas formas
    muy especificas y determinadas como tal circunstancia no se
    da se da la unica posibilidad cierta es que se den todos los
    resultados de digitos de 0 a 9.
    Dicho de otra forma la formula da un conjunto de infinitos
    elementos (estos elementos son las columnas de numeros de
    la suma y resta) en el que cada elemento es un conjunto de
    numeros llamemosles aleatorios aunque no lo son en el que
    las cifras de 1 a 9 aparecen en cantidad variable hasta un
    maximo de infinitas que se combinan de infinitas formas y
    estos a su vez con otros elementos .
    En un conjunto en el que se dan infinitas conbinaciones de
    numeros para el resultado y se dan todas las posibilidades
    para que se salgan los resultados de 0 a 9 la posibilidad
    de que se de un resultado distinto a 0 y 1 existe y no solo
    una sino infinitas veces .Asi pues aunque puede ocurrir que
    durante un periodo mas o menos largo las cifras de pi fuesen
    0 y 1 llegaria el momento en que tal periodo acabaria y no
    llegaria hasta el infinito. Lo mismo ocurre para cualquier
    otra conbinacion de numeros .En conclusion aunque la
    aparicion de las cifras de 0 a 9 pueden no ocurrir entre si
    con la misma frecuencia todas las cifras de 0 a 9 aparecen
    durante el desarollo infinito del numero pi .

    El mismo razonamiento que hemos empleado para pi lo podemos
    aplicar a el numero e base de los logaritmos naturales
    una de las formulas para el numero e es la siguiente

    e = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) +

    1/(1*2*3*4*5) + 1/(1*2*3*4*5*6) + 1/(1*2*3*4*5*6*7) + ...

    si sumamos unos cuantos terminos

    1

    + 1/1 = 1

    + 1/(1*2) = 0.5

    + 1/(1*2*3) = 0.166666666666...

    + 1/(1*2*3*4) = 0.041666666666...

    + 1/(1*2*3*4*5) = 0.008333333333...

    + 1/(1*2*3*4*5*6) = 0.001388888888...

    + 1/(1*2*3*4*5*6*7) = 0.000198412698...

    ---------------------------------------
    2.718253968253...

    si un termino es igual a 1/A el siguiente es igual a
    1/(A*N) es decir que el segundo termino es N veces
    mas pequeño que el anterior y el siguiente N+1 veces
    mas pequeño que este ultimo y N es igual a cualquier
    numero entero desde 2 hasta infinito.Por lo tanto
    cada termino averigua mayor proporcion de cifras que
    el anterior.
    Nuevamente vuelven a aparecer las mismas circunstancias
    que vimos para el numero pi infinitas conbinaciones de
    numeros mismas posibilidades para aparecer en el resultado
    todas las cifras de 0 a 9 por lo tanto aunque las cifras
    de 0 a 9 pueden no aparecer con la misma frecuencia
    todas las cifras de 0 a 9 aparecen durante el desarrollo
    infinito del numero e.

    para cualquier respuesta contactar con oterofresa@hotmail.com

    De Blogger otero, el día domingo, 18 junio, 2006  

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